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resta de matrices

uma y resta de matrices

 

Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y de columnas. Es decir, si una matriz es de orden 3 ´ 2 y otra de 3 ´ 3, no se pueden sumar ni restar. Esto es así ya que, tanto para la suma como para la resta, se suman o se restan los términos que ocupan el mismo lugar en las matrices.

 

Ejemplo:

 

 

   

 

Para sumar o restar más de dos matrices se procede igual. No necesariamente para poder sumar o restar matrices, éstas tienen que ser cuadradas.

 

Ejemplo:

     

 

 

 

suma de matrices

Si las matrices A=(a_ij) y B=(b_ij) tienen la misma dimensión, la matriz suma es:

A+B=(a_ij+b_ij).

La matriz suma se obtienen sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma misma posición.

division de matrices

División de matrices

 

La división de matrices se define como el producto del numerador multiplicado por la matriz inversa del denominador. Es decir, sean las matrices A y B  tal que A/B = AB^-1:

 

Si una matriz está dividida entre un escalar, todos los términos de la matriz quedarán divididos por ese escalar.

 

Ejemplo:

 

 

multiplicasion de matricesa

Dos matrices A y B son multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B.

M_{m x n} x M_{n x p} = M _{m x p}

El elemento c_ij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.

expresion radianes a grados

Los grados y los radianes son dos diferentes sistemas para medir ángulos. Un ángulo de 360^o equivale a 2π radianes; un ángulo de 180^o equivale a π radianes (recordemos que el número π = 3.14159265359…). Las equivalencias entre los cinco principales ángulos se muestran en las siguientes tres figuras:

Para convertir de grados a radianes o viceversa, partimos de que 180^o equivalen a π radianes; luego planteamos una regla de tres y resolvemos.

EJEMPLO A: Convertir 38o a radianes. Primero planteamos la regla de tres. Nótese que la x va arriba, en la posición de los radianes. Despejamos x, también simplificamos. Por último obtenemos el equivalente decimal con calculadora: x = 0.6632 radianes

EJEMPLO B: Convertir 2.4 radianes a grados. Primero planteamos la regla de tres. Nótese que la x va abajo, en la posición de los grados. Despejamos x. Por último obtenemos el equivalente decimal con calculadora: x = 137.5099o

expresar grados a radianes

Cómo vimos anteriormente en la conversión de Grados a Minutos y Segundos, en la conversión de Radianes a Grados se aplica el mismo procedimiento.

Veamos un ejemplo:

1. Lo describimos de la siguiente manera:

Lo que se hizo en éste primer paso, fue convertir los radianes a grados, multiplicando los ( 5 ¶ x 180 = 2827.4334) recordemos que se multiplica la función ¶ en la calculadora o ya que sabemos que es equivalente a 3.1415927. Luego multiplicamos los (22 x ¶ = 69.115038).
Ahora dividimos los resultados: 2827.4334 ÷ 69.115038, teniendo como respuesta 40.909091.
No olvidar las unidades equivalentes. Aquí contamos con los 40 ° Grados.

2. Luego utilizando los 40.909091 empezamos a convertirlos en Grados, Minutos y Segundos. Así:
Seleccionamos la parte decimal .909091 ° x 60 ' = 54.54 '
Tenemos 54 ' Minutos

3. Teniendo los 54.54 ', nuevamente seleccionamos la parte decimal para pasarlos a 0.54 ' x 60 '' = 32.4 '' quedando 32 '' Segundos

4. Cómo respuesta tenemos R/ 40° 54' 32 ''

CONVERSIONES DE GRADOS A RADIANES

Ahora trabajaremos otro ejemplo diferente:
a) Convertir 38 ° 15' 16 '' a Radianes.
1. Primero, pasaremos las cantidades a Grados, contando ya con los 38°.

2. Pasamos los 16'' a Minutos,

Ahora sumamos los 0.2666 minutos con los 15 minutos que ya se tienen, Obteniendo 15.2666 minutos.

3. Ahora trabajamos con los 15.2666 seleccionando los decimales para convertirlos en grados.

Sumamos los 38 ° + 0.2544 °, quedando 38.2544 °.

4. Ya teniendo las cantidades en Grados, procedemos a pasar los 38.2544 ° a Radianes.

La respuesta es 0.6676 Radianes, pero tenemos que pasarlo en función de ¶ Radianes, así que los 0.6676 Radianes lo dividimos por el valor de ¶.

5. Nuestra Respuesta final es R/ 0.2125 ¶.

expresion de grados a minutos y segundos

Para la Conversión de Grados a Minutos, Segundos y Radianes es necesario definir lo que es la Trigonometría.

TRIGONOMETRÍA: Es la rama de la Matemática que estudia las propiedades y medidas de ángulos y triángulos.

Para ello, es necesario apoyarnos con el Instrumento de la Calculadora y saber algunas unidades de conversión, por ejemplo:

1° = 60 Minutos ( 60 ')

1 ' = 60 Segundos ( 60 '')

Radianes = 180° ( El símbolo de Pi, utilizado en Matemática, tiene un valor numérico de 3.1415927 aproximadamente de 3.1416

En una Calculadora Científica, podemos ver ciertas abreviaturas que nos ayudarán a la conversión de las Funciones Trigonométricas, como por ejemplo:

• Grados: (D) (DEG)
• Radianes: (R) (RAD)
• Gradianes: (G) (GRAD)

Ahora veamos un ejemplo.

a) Convertir 18.4567 ° a Grados, Minutos y Segundos.
1. Como primer paso, tenemos que el número entero es de 18, éste nos equivale a 18°.

2. Luego los decimales después del punto es necesario que los pasemos a minutos, así:

OJO! Eliminamos unidades iguales y dejamos únicamente la que nos interesa, es decir, los minutos.

3. Ahora, tomamos los decimales 402 y los pasamos a Segundos. 0.402 ' x 60 '' (Segundos) = 24.12''

4. Ahora unimos todas las respuestas quedándonos 18 ° 27' 24'', que se lee: 18 Grados, 27 Minutos y 24 Segundos

NOTA: Si nos damos cuenta en cada conversión trabajamos sólo con los decimales, manteniéndose únicamente el primer número entero que corresponde a los Grados.

Veamos otro ejemplo a la inversa.
b) Convertir 18° 27' 24'' a Grados
1. En éste caso ya no son de Grados a Radianes, sino lo contrario, lo haremos llegar de Segundos, Minutos a Grados. Convertimos los Segundos a Minutos:

2. Ahora los 27 Minutos le adicionamos éstos 0.4 minutos y lo convertimos en Grados.

3. Sumamos las Unidades Equivalentes, es decir, los 0.456 ° + la cantidad entera 18° quedándonos como respuesta 18.456 ° Grados.
 

tipos de matrices

Matriz fila

Una matriz fila está constituida por una sola fila.

Matriz columna

La matriz columna tiene una sola columna

Matriz rectangular

La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.

Matriz traspuesta

Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.

(A^t)^t = A

(A + B)^t = A^t + B^t

(α ·A)^t = α· A^t

(A ·  B)^t = B^t · A^t

Matriz nula

En una matriz nula todos los elementos son ceros.

Matriz cuadrada

La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.

Los elementos de la forma a_ii constituyen la diagonal principal.

La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1, siendo n el orden de la matriz.

Tipos de matrices cuadradas

Matriz triangular superior

En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

Matriz triangular inferior

En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

Matriz diagonal

En una matriz diagonal todos los elementos que no están situados en la diagonal principal son nulos.

Matriz escalar

Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

Matriz identidad o unidad

Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

Matriz regular

Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.

Matriz singular

Una matriz singular no tiene matriz inversa.

Matriz idempotente

Una matriz, A, es idempotente si:

A² = A.

Matriz involutiva

Una matriz, A, es involutiva si:

A² = I.

Matriz simétrica

Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:

A = A^t.

Matriz antisimétrica o hemisimétrica

Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica:

A = −A^t.

Matriz ortogonal

Una matriz es ortogonal si verifica que:

A · A^t = I.

solución de suma de matrices

Dadas las matrices:

Calcular:

A + B;     A − B;     A x B;     B x A;     A^t.